ケーキを焼くという事例は、Design-Expert（DX）のツールを利用して複合分割法を試行するのに最も適した工程です。この工程には、様々な材料を混ぜ合わせ、ある一定の温度で処理し、そして、さらにフロスティングを混ぜ合わせる（冗談です）に至るまで、実験に適した要素がすべて含まれています。特にアメリカ南部で好まれている大人気のデザートの１つに、Lady Baltimore Cake（レディ・ボルチモアケーキ）があります－ふんわりとしたフロスティングにナッツとレーズンをぎっしり詰め込んだ、栄養価が高く美味しいケーキです。このケーキは、サウスカロライナ州チャールストンの Alicia Rhett Mayberry 氏によって初めて焼かれたのではないか、と言われています。このケーキは、1902年に出版された『The Virginian』で有名な小説家 Owen Wister の著書 『Lady Baltimore』（1906）の中でとり上げられています。

実験を設定するために DX ソフトウェアを開きます。次に、ツールバーで空白シートアイコン（ ）をクリックします。下部にある Custom Designs セクションから “Optimal (Combined)” を選択します。Mixture 1 components のドロップダウンリストから “3” を選択します。次に、Mixture 2 components には “3” を、Numeric factors には “1” を選択します。次のページに進むために、右下の “Next” ボタンをクリックします。

ここで、ケーキのレシピとして Mixture 1 の成分を入力します。このレシピで検討するのは中力粉、薄力粉、砂糖のみです。そして、これらの合計は 36 オンスになります。そのため、Total ボックスに「36」、Units に「ounces」と入力します。

残りの変更されていないレシピにも、この合計 36 オンスが繰り返して追加されるため、どの試行も割合は同じになります。ケーキの混合物は、この計画における HTC 因子であるため、ドロップダウンリストを使用してA 行の Change 列を Easy から “Hard” に変更します。混合物はすべての成分が Easy または Hard のどちらか一方で統一する必要があるため、最初に変更した Hard に準じて他のすべても Hard に変更されます。

成分 A 行の Name 列をクリックして、「all purp flour」と入力し変更します。すべての成分が、小文字になったことに注目してください。DX では HTC 因子は小文字で示され、通常、大文字で示される ETC 因子とは区別されます。この表示の違いは、グラフとラベルを操作するときに非常に便利です。

Tab キーで列を移動し、Low に「0」、High に「26」と入力します。次に、成分 B に「cake flour」と入力し、Low に「0」、High に「26」と入力します。さらに、成分 C として「sugar」と入力し、Low に「10」、High に「14」と入力します。他と関連してこれらの成分の水準が変わると、薄力粉の必要性と、最適な砂糖の水準が測定されます。計画は以下と同じようになっているはずです。

レシピの中には、大きな違いがあってはならないものがあります。それは小麦粉の総量です。十分な量の小麦粉が確実に使用されるように、ページの下部にある “Edit Constraint” ボタンをクリックして条件を追加します。小麦粉の合計は a+b で構成されるため、Constraints 列に「a+b」と入力します。小麦粉を適量に保つために Low Limit に「20」、High Limit に「26」と入力します。

“OK” をクリックしたら “Continue” をクリックして、Mixture 2 に進みます。

　フィリングとフロスティングの合計として Total に「17」、 単位として Units に「teaspoons」と入力します。私たちはレシピのうちでも限定された (影響の大きい) 材料のみで実験しています。この混合物は ETC 因子のため、Change 列を変更する必要はありません。成分 D の Name に「water」、Low に「13.5」、High に「16」 と入力します。そして、成分 B の Name に「corn syrup」、Low に「0.5」、High に「2.5」と入力します。また、成分 C の Name に「vanilla」、Low に「0.5」、High に「1」と入力します。

“Next” をクリックして、数値型因子に移動します。Name を「amount F&F」（filling and frosting）に変更し、Low Level をあらわす L[1] に「3」、High level をあらわす L[2] に「4」と入力します。

“Next” をクリックすると Design オプションが表示されます。Optimal Design には数多くのオプションの選択肢が用意されており、複合計画においてはさらに多くのオプションが存在します。“Edit Model…” ボタンのそばを見ると、“Quadratic x Quadratic x Quadratic” と表示されているのが分かります。これにより、Mix 2 モデルが Mix 1 モデルと同じ

複合モデルの場合、これらの各モデルからの項を一緒に乗算するか、108個の係数、すなわち、108 のモデルポイントが必要です（右上を参照）。この複合モデルは非常に複雑で、極端ともいえるようなとても込み入ったモデルを可能にします。試行数を抑えるには “Edit model…” ボタンをクリックします。試行数を抑える方法の一つは、個々のモデル、すなわち、Mix 1、Mix 2、またはプロセスモデルのいずれかの順序を変更することです。単純なモデル（例えば、線形）を選択すると、結果として項と試行数がさらに少なくなります。しかし、個々のモデルを単純化する代わりに、これらモデルの乗算によって発生した非常に高次な交互作用を、いくつか削除することをお勧めします。これを行うには Combined order limit を “Quartic” に変更します。

これにより、 ABEFG² または ADFG² のように、それぞれ６次および５次の項を含むモデル内のすべての項が取り出されます。これらの操作は、システムの全体像を把握するために必ずしも必要というわけではありません。また、これらの項を削除することで、いくつか試行数が抑えられます。4次項のみが残ります。

　“OK” をクリックすると、Required model points が 108 から 72 に減少します。

数値計算による最適化で最適解を求めたとき、温度が 90℃ となる領域に条件を満足させる解を見つけることができました。操作ウィンドウを広く表示するために、“Graphical” ノードをクリックしましょう。ここで必要な条件は、数値計算による最適化の条件と基本的に同じです：

“Next” をクリックします。R1 の Name に「Rating」と入力します。この場合、100ポイントのスケールで測定され、高ければ高いほど良い味となります。

“Finish” をクリックすると、計画が構築されます。これには、数分かかることがあります。このプログラムは多くの試行（デフォルトは20）を通して、できる限り正確かつ効率的にモデル項に合う試行の適切な組み合わせを選定します。反復が終ると（オプションで選択された統計基準で判断された）最適計画が表示されます。

　グループ間の因子水準をリセットするよう警告が表示されます。とりあえずこの警告は無視して、“OK” をクリックします。計画は無作為化されるため（制約なし）のため、画面に表示される試行は各ユーザーによって異なります。最初の２つのグループは以下のように表示されます。Group 1 においてケーキは、中力粉が0オンス、薄力粉が22オンス、および砂糖が14オンスの分量で焼きます。その後の Group 2 では、全く別の分量となっています。分割法の素晴らしい点は、同じケーキレシピの試行を連続して11回行えることです。そのため、11個のケーキをまとめてオーブンで焼くことができ、時間を大幅に節約することができます。

“Help” -> “Tutorial Data” とクリックし、“Lady Baltimore” を選択して、結果を読み込みます。

　データを含む計画は、以下のスクリーンショットのようになります。構築したカスタム計画は整合性を保つために、チュートリアルの実行順序に置き換わることに注意してください。

解析を始めるには Analysis ブランチ下の “R1: Rating” ノードをクリックします。標準の RSM 解析と同様に、新しいタブ一式が画面上部に表示され、解析の完了に必要な順序で左から右へ配置されます。

Transform には、このページに適用できるさまざまな選択肢が用意されています。この時点でこれが役立つか不明な場合は、次の “Model” タブをクリックしてください。そこでは、どの選択肢が有益なのかを判断することができる診断があり、そこに後からチェックされます。

　Model タブでは、Combined Model（４次項のみに減らされた）が検討のために表示されます（Process order において、項および計画モデルの隣には緑色で “” と表示されます）。この時点で ANOVA（REML）をクリックして次に進むと、モデルのすべての計画が評価されます。しかし、できる限り有意ではない項を除いた中から、最も適したモデルを選択するために、いくつか解析を行うことをお勧めします。

これをコンピューターで自動的に行うには、“Auto Select…” ボタンをクリックします。解析を実行するには、デフォルトのまま Criterion に AICc を、 Selection に Forward を適用し、“Start” ボタンをクリックします。計画モデルの項が検討され、AICc 基準を最も改善する項が選択されると同時に、基準の改善ができなくなるまで、それらの項がモデルに追加されます。

モデルを選択する際に追加された項が、各段階における AICc 基準と共に表示されます。アルゴリズムモデルの選択と使用した基準の詳細については、Help ボタンをクリックしてください。または、“Accept” をクリックして、次に進んで結果のモデルを評価してください。“ANOVA (REML)” タブをクリックすると、選択したモデルが階層的ではないという警告が表示されます。必ず “Yes” をクリックして、階層を修正してください。こうすることで確実に低次の項が表示され、たとえ有意でなくても高次の項がサポートされ、より堅実なモデルが提供されます。これは統計的に好ましい手法です。詳細については、警告ボックス内の Help ボタンをクリックしてください。次に、モデル統計が表示されます。

ANOVA 分析の結果は、妥当性を確保するため無作為化を行っているので、これと同じになるとは限りません。DX で行った分割法の解析手法は、最尤法です。結果のテーブルの上部に示されているように厳密に言えば、制限付き最尤法（REML）です。

次に、“Variance Components” タブをクリックして、各種統計量が REML 解析を補足していることを確認してください。

ここで、Variance Components の詳細が表示されます。“Model Comparison Statistics” タブに移動して、情報基準（AIC、BIC、AICc）を含む、選択したモデルの尤度比をさらに詳しく見ることができます。詳細についてはヘルプメニューを参照してください。

確認すべき重要な数字のひとつに、“Fit Statistics” タブにある Adjusted R2（自由度調整済み決定係数）があります。この数字は 0 から 1 までの間で推移し、1 が最も優れています。この例の場合、自由度調整済み決定係数は 0.75 です。決定係数では、選択したモデルがデータ内における変動の大部分（~75%）を捉えていることが表示されます。

モデルの基準についてさらに詳しく調べたい場合は、文脈依存ヘルプを参照してください。目的の番号をクリックして強調表示したら、F1 キーを押してください（または、右クリックしてヘルプを選択します）。例えば、Adjusted R2 基準について得られた情報を見てください。

　モデル統計量は、十分な値です。モデルは、かなり強力なようです。“Diagnostics” タブを押して、残差のグラフを確認します。

フローティングの Diagnostics ツールから見つけた残差のグラフは、重要で確認する必要があります。しかし、これらについては別のチュートリアルで詳しく説明しています。例えば『多因子における RSM』チュートリアルを参照してください。この場合、診断に問題はなさそうなので “Model Graphs” をクリックして混合（三角）空間における応答を表示します。

フローティングの Factors Tool に表示されるように、この混合物は Mixture 2（フロスティング）とプロセス因子（F&F の量）が相互作用することを忘れないでください。これらの因子のバーを、クリック&ドラッグすると応答グラフが変化します。例えば、Factors ツールの Process リストにある F&F を左（低い値）にドラッグしてください。フロスティングの量が減るにつれて、全体的に味が落ちるのは当然です。フロスティングがかかっていないケーキを欲しがる人がどこにいるでしょうか？

このプロセス因子が、そのままでどのように見えるか確認してみましょう。フローティングツールの amount F&F プロセス因子を、右クリックして “X1 axis” を選択します。グラフツールで “One Factor” が強調表示されたことに注目してください。そのボタンをクリックしても、このグラフを表示することができます。

これにより amount F&F が X 軸に配置されます。前のグラフで見たように、amount F&F の値を上げると味が良くなりますが、これはある程度までです。量が最高水準になると、味の評価は下がります。グラフの上部に赤く示された警告で気づくかも知れませんが、これは手順全体の一部でしかありません。amount F&F は２つの混合物と相互に作用します。フロスティングの混合物がどのようにグラフに影響を与えるかを確認するために、Floating Factors ツールからMixture 2 の赤いバーをドラッグします。例えば、water の水準を高水準にドラッグし、F&F グラフがどのように対応するかを確認してみてください。

なお、water を加えるほど、corn syrup と vanilla を減らして、フロスティングの混合物の合計を一定に保つ必要があります。water をすべて追加しても全体的評価はさほど変化せず、amount F&F の最適条件には依然としてピーク（僅かにより鋭い）が存在しています。

　このように複合計画には、検討に値する興味深いグラフが数多く存在します。例えば、Graphs Toolbar にある “Mix-Process” ボタンをクリックしてみてください。この操作によって、薄力粉の代わりに中力粉を使用すると、amount F&F（下から上）と連動して評価にどのような影響があるのかを確認することができます。

最適解を見つける

この実験プログラムの最終目標は、Lady Baltimore Cake のレシピをカスタマイズして、総合評価が最高となるような方法を知ることです。配合の最適な組み合わせを探し出すために、“Numerical” とラベル付けされた最適化ノードをクリックします。次に、 “Rating” を選択します。Goal ドロップダウンリストから “maximize” を選択し、その他の全てはデフォルトのままにします。画面は次のようになります。

“Solutions” タブをクリックします。デフォルト設定の Ramps 表示で解が表示されます。

Ramps 表示を使用すると、各成分/因子の水準および評価結果（73）を簡単に確認することができます。残念ながら、中力粉は低水準に設定されます。レシピの制作者が薄力粉の使用を決めたとき、自らこのことを分かっていたと思われます。amount F&F（G）は、1因子のプロットで因子を検討した際に、以前に見たように上中央の水準に設定されます。

これが解の番号 1 であり、最高の評価を得ています。その他いくつかのオプションを検証するために、Factors Tool のドロップダウンメニューから別の solutions 番号をクリックしてみてください。

Solutions ドロップダウンを一度クリックすると、上下の矢印キーを使用して簡単に他の解に切り替えることができます。さらに評価が低い解に移動しても、良い評価を得るには中力粉を低水準に設定する必要があるようです。

最適解におけるグラフを検証するには、“Graphs” タブをクリックします（Solutions バーの solution 番号は必ず 1 を選択してください）。最適解にはフラグが立てられています（中力粉が低水準の地点）。デフォルトではすべての応答が並んで表示され、そこには最適解の検索に使用された望ましさのプロットも含まれています。

評価だけを表示するには、Response ドロップダウンリストから “Rating” を選択します。

多くのグラフを探索しましたが、レシピはかなり最適化されているようです。もう少しグラフを検討したければ、ご自身でお任せします。