ある料理研究家が、小麦製品の調理に関して様々な時間と温度の中から最適な組み合わせを見いだしたいと考えています。一連のスクリーニングと、綿密な要因計画の結果、最適なプロセス条件の究明に必要な２つの因子の範囲を以下のように絞り込みました：

• A. Temperature (温度) : 110 ～ 180℃
• B. Time (時間): 17 ～ 23 分

ところで、でんぷんを望ましくゲル化させるには、110℃の温度で加熱する場合（実験領域の一番低い側）、少なくとも19分は必要であることが既に分かっています。一方、加熱する温度を180℃に上げた場合、でんぷんがゲルになるまでにかかる時間はわずか17分で済みます。

Design-Expert を起動したらツールバーの左側にある空白シートアイコン  をクリックして計画の作成を開始します。

“Standard Designs” の下にある “Response Surface” をクリックして、メニューを展開します。計画の種類として “Optimal（custom）” を選択します。それから以下のように、 L[1]（下限値）と L[2]（上限値）に値を入力します。

テーブルの下にある “Edit Constraints” ボタンを押してください。

この段階で、計画の多重線形制約条件が分かっていれば、若干の数学的変形を行って、それらを直接フィールドに入力できます。

制約条件ツールの使用例

条件式をフィールドに直接入力するのではなく、Design-Expert に計算させることにしましょう。“Add Constraint Tool” ボタンをクリックしてください。計画の制約条件として既に入力されている内容をもとに、適切なデフォルト値があらかじめセットアップされています。

画面上の説明で指示されているとおり、まず始めに除外すべき値の組み合わせ、すなわち、幾何学的に言えば Vertex を指定します（以下の図において、赤で表示されている部分に該当します）。

画面の説明にもあるように、次のステップは、Constraint Point フィールドの入力です。温度が低水準の値 110 をとるとき、目的を達成できる B（time）の水準を入力します。入力する値は「19」です。これは、でんぷんがゲル化にかかる最小時間に相当します。

不等号が Design-Expert によって正しい向き（>）に変更された点に注目しましょう。

続いて、因子 A（Temperature）とその Constraint Point に関心の矛先を戻しましょう。B（Time）がその低水準である頂点をとるとき、A（温度）は「180」より大きい必要があります。

不等号は Design-Expert によって前もって正しい向き (>) 変更されている点に注目しましょう。

“OK” をクリックして、Design-Expert で計算された多重線形制約条件の方程式が、数学的に得られた内容と同じであることをご確認ください。

制約条件の不等式の内容がこれで正しいかを確認したら “OK” をクリックして、“Next” をクリックしてください

Search オプションと Optimality の判定基準は、それぞれデフォルトで指定されている “Best” と “I” のままで結構です。

“Edit Model” ボタンを押して、デフォルトの2次モデルを3次モデルに引き上げます（実験者はこの応答が波型になるだろうと考えたことを思い出してください。デフォルトで指定された2次モデルでは、波型の曲面に適合する期待ができないからです）。

デフォルトで指定された試行内容は、実験者が希望する試行設定のうち lack of fit（不適合度）と replicates（反復回数）の値が少し高めです。試行回数を制限するために、Lack of fit points の値をデフォルトで指定された 5 から「4」に変更し、また、Replicates（反復回数）についても「4」に減らすことにしましょう。実験者は、これによって計画の堅牢性が低下することを重々承知していますが、実験の試行には相当のコストが掛るため、ここではあえて、試行数を減らす道を選んだ訳です。

“Next” をクリックして応答入力に移ります。応答入力は、デフォルトで指定された一般的な “R1” のままで結構です（この実験の最終結果はここでは確認しません）。続いて、“Finish” をクリックして、制約条件付きプロセス空間の最適計画を構築します。

ブートストラップの無作為化により、出来上がる計画はその都度異なるものとなりますが、基本的にはいずれも（あらゆる実用的な用途として）最適なものとなります。続いて、選択された点の内容を確認してみましょう

• “Select” ボタン（左上のセル）を右クリックして、“Design ID” を選択します
• Id 列のヘッダを右クリックして、“Sort Ascending” を実行します
• “Select” ボタンを右クリックして、“Space Point Type” をクリックします

現在テーブルには、計画点を識別する形状タイプが表示され、ID でソートされた状態で計画点の一覧が表示されているはずです。ブートストラップの無作為化により、実際の点は以下に示すものと異なる場合があります。

これらの因子の組み合わせが3次モデルの適合に充分な情報となり得るかを正確に評価してみましょう。Design の “Evaluation” ノードをクリックしてください。

指定された計画内容に基づいて、評価する次数に3次がプログラムにより自動的に選択されています。“Results” をクリックして、実験がどの程度うまく計画されたかを確認してみましょう。

エイリアスは特に見つかりませんでした：出だしとしては上々です。しかし、検出力統計の値の低さと、各項の統計値にばらつきがあることに驚く人がいるかもしれません。これは、多重線形制約条件の計画では良く起こることです。従って、代わりに FDS（設計空間率）グラフを使用して、このような実験の適正な規模を評価することをお勧めします。これについては、このすぐ後にとりあげます。

それでは、“Graphs” ボタンをクリックしてみましょう。ここで、応答の標準偏差の大きさが２であれば、実験者が期待する差異であると仮定しましょう。別の言葉で言い換えると、S/N 比が 2 であるということです。左側の FDS Tool にある d に 2 と入力します（“d” は応答の差異 response difference を意味します）。Tab キーをクリックして、標準偏差（“s”）を 1 として、この予測精度の水準を達成する設計空間の割合を見てみましょう。

FFDSの値はグラフの左側に凡例として示されていますが、この場合、理想的な値は 0.8 以上となります。この計画に問題はありません。

Graphs Toolbar にある “Contour” をクリックして、等高線上で計画点がどこに配置されるかをご確認ください（実際に表示されるものとは若干異なる場合があります）。

計画点どうしの間隔は好ましい距離で保たれ、また、反復試行の選択についても道理に適ったものであると考えられます（“2” とラベルのついた四隅の点）。“View” -> “3D Surface” を選択し（または Graphs Toolbar から 3D Surface を選び）、標準誤差の曲面を表示させてみましょう。

この計画の場合、標準偏差プロットにおいて比較的平坦な曲面が作成されます。つまり設計空間全体を通して非常に均一な予測精度が得られることになります。

　応答曲面法による最適化計画のチュートリアルは、これで終了です。