| 本アーティクルは The Mathematica Journal (volume 14, 2012) で発表されたもの で、著作権は Wolfram Research, Inc. に属します。 |
| "This article was previously published in The Mathematica Journal (volume 14, 2012) and the copyright holder is Wolfram Research, Inc." |
第一ボルン近似で準弾性電子散乱の強度を評価するために、メタンの回転状態の完全集合に Closure を使用すると、これまで評価されていなかった多くの積分が見つかります。Mathematica を使用して、これらおよび、同じような積分の計算を行ったところ、すべての結果を単純な式で示せることが分かりました。
ここでは、
で定義される、球状行列要素 DJM1M2(a, x, γ) [1, 2 を参照] の平均に関する積分について述べます。これは、固有値 J(J+1) と 縮退 (2J+1)2 からなる、対称こま固有関数です。
関数 
は、
この場合、t は整数であり、0 から分母の階乗が初めて負になるまでの総和です。
ここで、
は、J (J+1) を固有値に持つルジャンドル多項式 PJ (x) を固有関数とするハミルトニアン演算子で、準弾性電子散乱のインパルス近似で [3 を参照]、メタンなど、球対称こまの回転運動の平均は、次の積分で表すことができます。
方程式 (3) も DJM1M2(a, x, γ) が解であるハミルトニアンの一部ですが、 は H(x) の固有関数ではありません。H は、インパルス近似の散乱問題の処理で発生します [3 を参照]。
規格化因子 NJ M1M2
をすべての M1と M2 使用した場合、
になるということを、Mathematica を使用して証明することができました。
ここで、
とすると、
整数 n > 0 の計算結果は次のようになります。
「証明」という言葉は、Mathematica プログラムからの結果に基づいています。
これらの式は、すべて正の整数の比として存在し、0 から 18 の J の値に対する方程式 (8) の右辺の結果と完全に一致することが分かります。
C(n) を
で置き換えた場合、
(1 – x2)n を x2n で置き換えた場合と、同じ結果になることに注意してください。
C(n) の定義における (1 – x2)n および x2n に対する因子 
を除くと、残りの部分は以下の積分と等しくなります。
および
さらに、
を見てみると、
であるので、
と同じ結果になることが分かります。
以下の積分の二重和の式
および
を定義します。
これらの結果から C0 が定数である場合、IJ (m, n) = C0 IC (m, n) と考えられます。次のセクションで示すように、m = 0, 1 および n = 0, 1 の場合、J = 1, 2, 3, 4 に対して定数因子 C0 は となります。
関数 d は、 です。
関数 d1 と d2 は、x に対する の一次および二次導関数です。
関数 h は、ハミルトニアン H で d を処理した結果です。
積分 a を定義します。
関数 int1 は、方程式 (14) 内の積分です。
関数 int2 は、 の二乗の規格化積分です。
関数 s は、M1 と M2 について、積分 int1 と int2 の比を合計したものです。
m、n、J のさまざまな組み合わせについて、table では IJ (m, n) の厳密な計算 (方程式 (14)) と、提案された結果 IC (m, n) (方程式 (15)) を比較して、このふたつの比は定数であり、この場合、C0 = であることが示されます。table [1, 1] の評価には、しばらく時間がかかります。
R. A. Bonham, “Some Integrals Involving Symmetric-Top Eigenfunctions,” The Mathematica Journal, 2012. dx.doi.org/doi:10.3888/tmj.14-12.
Russell A. Bonham 1957年アイオワ州立大学で物理化学の博士号 (Ph.D.) 取得。自由原子および自由分子からの電子散乱に関して、さまざまな側面から 200 以上の記事を執筆。現在、インディアナ大学名誉教授および、イリノイ工科大学非常勤教授。