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SYSTAT の生存分析
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層別化された Cox の回帰

比例ハザードの前提は、異なる共変量の値を持つ群は、時間経過と共に変化しない相対ハザード関数を持つという暗黙的な意味を持ちます。したがって、男性と女性の生存の研究では、男女のハザード関数の比は、性別が共変量であれば定数であるという前提を持ちます。時間経過と共に、男性のハザード関数が女性のハザード関数に対して増加すると考える場合は、性別の変数について、比例ハザードの前提に違反することになります。

このような潜在的な前提の違反を扱うために、SURVIVAL では Cox モデルの重要な一般化を行うことができます。これは層別化 (ブロック化と呼ばれることもある) を使用するものです。層別化は、母集団全体について、1 つの基となるベースラインハザードの前提を緩和します。その代わり、各層が個別のベースラインハザードを持つことができ、層に固有の大幅に異なる時間面グラフを持つことができます。共変量の係数は、すべての層で共通なので、層別化は各群の個別のモデルの推定を行わずに停止します。層別化した Cox モデルを推定するには、次の入力を行います。LTAB コマンドを追加して、このモデルの累積ハザード生命表をプロットします。

USE MELANOMA
SURVIVAL
MODEL TIME = ULCER,DEPTH,NODES / ,
CENSOR=CENSOR,STRATA=SEX
ESTIMATE / COX
LTAB / ULCER=0,DEPTH=0,NODES=0,LCHAZ

出力は次のようになります。

SYSTAT Rectangular file C:\Program Files\SYSTAT 11\Data\MELANOMA.SYD,
created Fri Jun 25, 2004 at 16:20:20, contains variables:

TIME	CENSOR	WEIGHT	SEX	PA	PB
ULCER	DEPTH	NODES	SEX$

Time variable: TIME
Censor variable: CENSOR
Weight variable: 1.0
Input records:           69
Records kept for analysis:           69

Weighted
Censoring          Observations   Observations

Exact Failures                 36
Right Censored                 33

Covariate means

ULCER       =       1.507
DEPTH       =       2.562
NODES       =       3.246

Type 1, exact failures and right censoring only.
Analyses/estimates: Kaplan-Meier, Cox and parametric models
Overall time range: [      72.000 ,     7307.000]
Failure time range: [      72.000 ,     1606.000]

Stratification on SEX specified, 2 levels

Cox Proportional Hazards Estimation
with stratification on SEX
Time variable: TIME
Censoring: CENSOR

Weight variable: 1.0
Lower time: Not specified

Iter  Step            L-L
0     0       -112.564
1     0       -108.343
2     0       -103.570
3     0       -103.533
4     0       -103.533

Results after 4 iterations
Final convergence criterion:        0.000
Maximum gradient element:        0.000
Initial score test of regression:       32.533 with 3 df
Significance level (p value):        0.000
Final log-likelihood:     -103.533
-2*[LL(0)-LL(4')] TEST:       18.063 with 3 df
Significance level (p value):        0.000
Parameter                Estimate         S.E.      t-ratio      p-value
ULCER                      -0.817        0.385       -2.123        0.034
DEPTH                       0.083        0.053        1.587        0.112
NODES                       0.131        0.057        2.289        0.022

95.0 % Confidence Intervals
Parameter                  Estimate        Lower        Upper
ULCER                      -0.817       -1.570       -0.063
DEPTH                       0.083       -0.020        0.186
NODES                       0.131        0.019        0.243

Covariance matrix

ULCER        DEPTH        NODES
ULCER               0.148
DEPTH               0.006        0.003
NODES              -0.006       -0.000        0.003

Correlation matrix

ULCER        DEPTH        NODES
ULCER               1.000
DEPTH               0.301        1.000
NODES              -0.287       -0.096        1.000

Life table for last Cox model
All the data will be used

The following results are for SEX = 0.

Evaluated at covariate vector:
ULCER=0.000, DEPTH=0.000, NODES=0.000

No tied failure times

Model        Model
Number       Number                  Survival       Hazard
At Risk      Failing         Time  Probability         Rate

31.000        1.000      133.000        0.941        0.059
30.000        1.000      184.000        0.883        0.062
29.000        1.000      251.000        0.826        0.065
28.000        1.000      320.000        0.769        0.069
27.000        1.000      391.000        0.712        0.074
26.000        1.000      414.000        0.658        0.076
25.000        1.000      434.000        0.606        0.078
23.000        1.000      471.000        0.554        0.086
22.000        1.000      544.000        0.501        0.096
20.000        1.000      788.000        0.445        0.112
19.000        1.000      812.000        0.392        0.117
15.000        1.000     1151.000        0.337        0.142
13.000        1.000     1239.000        0.277        0.177
5.000        1.000     1579.000        0.159        0.427
4.000        1.000     1606.000        0.070        0.556

Group size               =       31.000
Number failing           =       15.000

The following results are for SEX = 1.

Evaluated at covariate vector:
ULCER=0.000, DEPTH=0.000, NODES=0.000

No tied failure times

Model        Model
Number       Number                  Survival       Hazard
At Risk      Failing         Time  Probability         Rate

38.000        1.000       72.000        0.996        0.004
37.000        1.000      125.000        0.953        0.044
36.000        1.000      127.000        0.909        0.046
35.000        1.000      142.000        0.866        0.048
34.000        1.000      151.000        0.823        0.049
33.000        1.000      154.000        0.782        0.050
32.000        1.000      176.000        0.742        0.051
31.000        1.000      229.000        0.703        0.052
30.000        1.000      256.000        0.665        0.055
29.000        1.000      362.000        0.627        0.057
28.000        1.000      422.000        0.590        0.059
27.000        1.000      441.000        0.552        0.063
26.000        1.000      465.000        0.514        0.069
25.000        1.000      495.000        0.476        0.074
23.000        1.000      584.000        0.439        0.077
22.000        1.000      645.000        0.401        0.086
21.000        1.000      659.000        0.361        0.099
20.000        1.000      749.000        0.324        0.105
18.000        1.000      803.000        0.287        0.113
16.000        1.000     1020.000        0.250        0.129
15.000        1.000     1042.000        0.215        0.139

Group size               =       38.000
Number failing           =       21.000



Log-rank test, stratification on SEX strata range 1 to 2

Method: MANTEL
Chi-Sq statistic:        0.568 with 1 df
Significance level (p value):        0.451

Method: BRESLOW-GEHAN
Chi-Sq statistic:        1.589 with 1 df
Significance level (p value):        0.207

Method: TARONE-WARE
Chi-Sq statistic:        1.167 with 1 df
Significance level (p value):        0.280

層別化では、ハザードシフトの係数を層間で共通にしたまま、層別変数が異なるケースについて生存パターンを大幅に変えることができます。前述の例では、SEX を層別変数にしても、係数は大幅に変化しません。

ベースラインハザードを層間で比較することにより、層別変数を共変量としてモデル化できるかどうかを調べることができます。log(-log(survivor)) のグラフがほぼ相似である場合、層別変数は、ベースラインハザードをシフトさせるように動作し、確実に共変量と見なされます。一方、曲線の形状が大きく異なる場合、変数は層別変数のままにしておいたほうがよく、共変量に含めるべきではありません。1 回につき、層別変数を 1 つだけ指定することができます。

Cox モデルのベースライン生存関数は、例で示したように、LTAB コマンドの後に共変量を 0 に設定することで得られます。LCHAZ オプションを追加することにより、2 つの性別のそれぞれのベースラインハザード、および時間に対する生存関数の log(-log) のグラフが得られます。Kalbfleisch と Prentice (1980 年の論文) が指摘したように、この手法は、満足できる特定のモデルが得られるまで、共変量と層別変数の役割を入れ替えながら反復的に適用することができます。データ点が非常に少ないので、確固たる結論を導くことは難しいですが、log(-log(survivor)) 曲線はだいたい相似です。これは、SEX が、有意ではないが、このモデルの共変量である可能性があることを示唆しています。

層別化よりも保守的な解析手順は、はじめに標本を、別の生存の挙動を持つと思われる部分群に分割し、次に各群について個別のモデルを推定します。個別の部分群のモデルの合計対数尤度、および層別化した Cox モデルの尤度を基にする尤度比検定は、層別化が群間差を十分捕捉できるかどうかの検定の基礎とすることができます。層別化が使用できると見なされる場合は、次に層別変数を共変量として入力できるかどうかを調べます。