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モンテカルロ法の例
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ギブズ・サンプリングを使用した線形回帰のあてはめ

この例は Congdon(2001)から引用したもので、10 年間のデータを使用して 11 月の降雨量に基づく12 月の降雨量のベイズ線形回帰の使用法を説明したものです。 データは Lee (1997) からの引用で、Y は12 月の降雨量 X は11 月の降雨量です。

モデル

を仮定します。 です。

事前

完全条件付き密度は次のようになります。

事前分布パラメータを μ1=0、μ2=0、σ1=10000、σ2=1000、γ =0.001、δ=0.001 とすると、完全条件付き密度からランダム標本を生成して基本統計量を計算するには、次のように入力します。

USE RAINFALL
GIBBS /SIZE=10000 NSAMP=1 BURNIN=1000 GAP=1 RSEED=53478
FULLCOND / VAR='ALPHA' DIST=Z,
PAR1='((0/(10000))+((SUM(Y))*(TAU)))/((10*(TAU))+(1/10000))',
PAR2='SQR(1/((10*(TAU))+(1/10000)))' INIT=29.0
FULLCOND / VAR='BETA' DIST=Z,
PAR1='((0/(1000))+((SUM(Y*(X-MEAN(X))))*TAU))/(((SUM((X-MEAN(X))^2))*TAU)+(1/1000))',
PAR2='SQR(1/(((SUM((X-MEAN(X))^2))*TAU)+(1/1000)))' INIT=0.5
FULLCOND / VAR='TAU' DIST=G,
PAR1='(10/2)+0.001' PAR2='1/(((1/2)*(SUM((Y-ALPHA-(BETA*(X-MEAN(X))))^2)))+0.001)',
INIT=0.5
SAVE GIBBSYORKRAIN.SYD
GENERATE
USE GIBBSYORKRAIN.SYD
LET SIGSQ=1/TAU1
STATS
CBSTAT ALPHA1 BETA1 SIGSQ/MAXIMUM MEAN,MEDIAN MINIMUM SD, VARIANCE N PTILE=2.5 50 97.5

出力は次のようになります。

  ALPHA1 BETA1 SIGSQ
N of cases 10000 10000 10000
Minimum 7.494 -1.014 47.178
Maximum 67.112 0.700 3651.797
Median 40.694 -0.163 207.885
Mean 40.636 -0.161 257.108
Standard Dev 5.078 0.139 181.699
Variance 25.785 0.019 33014.685
METHOD = CLEVELAND      
2.5 % 30.639 -0.440 88.040
50 % 40.694 -0.163 207.885
97.5 % 50.732 0.121 748.459

シミュレーションによる値からの α、 β、σ2 の推定値は、それぞれ、40.636、-0.161、257.108 です。「時系列」プロットを使用して、この標本の特性を調べることができます。 次のように入力します。

SERIES
TPLOT ALPHA1

事後予測シミュレーションにより、11 月の降雨量 46.1 から 12 月の降雨量を予測することができます。 次のように入力します。

LET THETANEW= ALPHA1+BETA1*(46.1-57.8)
LET YNEW= ZRN(THETANEW, SQR(SIGSQ))
STATS
CBSTAT YNEW/MAXIMUM MEAN MEDIAN MINIMUM SD VARIANCE N
PTILE=2.5 50 97.5

出力は次のようになります。

  YNEW
N of cases 10000
Minimum -81.941
Maximum 156.169
Median 42.652
Mean 42.553
Standard Dev 16.861
Variance 284.306
METHOD = CLEVELAND  
2.5 % 8.908
50 % 42.652
97.5 % 76.453

 

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