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モンテカルロ法の例
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RWM-H アルゴリズムおよび IndM-H アルゴリズムを使用した有界事後密度関数の平均値と分散の推定

観察値 {1,1,1,1,1,1,2,2,2,3} が、次の密度を有する (離散) 対数分布 (logarithmic series distribution)であるとします。

大きさ 10 の標本から、母数 θ の対数分布 (logarithmic series distribution) は次の (非正規化) 尤度関数になります。

事前確率を π(t)=6t(1-t) とすると、 最大値が乗算定数の事後確率は次のようになります。

この例は Monahan(2001)からの引用ですが、ランダムウォーク Metropolis-Hastings アルゴリズムおよび独立 Metropolis-Hastings アルゴリズムを使用して、指定した事後確率からランダム標本を生成する方法を示しています。

  • RWM-H アルゴリズムを使用してランダム標本を生成するために、選択したプロポーザルは一様 (-0.1, 0.1) で、ゼロの近傍で対称です。 ターゲット関数は 0 と 1 の間で有界ですから、最初の分布によって生成される値は 0 と 1 の間にあり、したがって最初の分布は uniform(0,1) として選択します。 事後確率から標本を生成し、その基本統計量を計算するには、次のように入力します。

    MCMC
    MH TARGET='(X^16*(1-X))/((-LOG(1-X))^10)'RANGE B =0,1 /RW,
    SIZE=100000 NSAMPLE=1 BURNIN=500 GAP=30 RSEED=237465
    INITSAMP U(0.0,1.0)
    PROPOSAL U(-0.1,0.1)
    SAVE MHRWSAMP.SYD
    GENERATE
    USE MHRWSAMP.SYD
    STATS
    CBSTAT S1/ MAXIMUM MEAN MINIMUM SD VARIANCE N
    DENSITY S1 /KERNEL

    出力は次のようになります。

      S1
    N of cases 100000
    Minimum 0.066
    Maximum 0.953
    Mean 0.528
    Standard Dev 0.136
    Variance 0.019


    生成されたデータの平均値と分散は、それぞれ 0.528 と 0.019 です。

  • IndM-H を使用する場合は、プロポーザル関数のサポートにターゲット関数のサポートが含まれている必要があります。 そのために、この例ではプロポーザル関数として uniform(0,1) を選択しています。 事後確率からランダム標本を生成し、その平均値と分散を計算するには、次のように入力します。

    MCMC
    MH TARGET='(X^16*(1-X))/((-LOG(1-X))^10)' RANGE B =0,1,
    /IND SIZE=100000 NSAMPLE=1 BURNIN=500 GAP=30
    RSEED=65736736
    INITSAMP U(0.0,1.0)
    PROPOSAL U(0.0,1.0)
    SAVE MHINDSAMP.SYD
    GENERATE
    USE MHINDSAMP.SYD
    STATS
    CBSTAT S1/ MAXIMUM MEAN MINIMUM SD VARIANCE N
    DENSITY S1 / KERNEL

    出力は次のようになります。

      S1
    N of cases 100000
    Minimum 0.066
    Maximum 0.966
    Mean 0.527
    Standard Dev 0.137
    Variance 0.019


    RWM-H アルゴリズムおよび IndM-H アルゴリズムによって生成したデータの事後確率の平均値と分散は、それぞれ約 0.528 と 0.018 です。