ヒューリンクステクニカルサポート
SYSTAT 11 テクニカルサポート
SYSTAT 製品ページ

SYSTAT のモンテカルロ法

R.L.Karandikar, T.Krishnan, and M.R.L.N.Panchanana

モンテカルロ法 (Fishman, 1996、Gentle, 1998、Robert and Casella, 1999) は、生成したランダム標本を使用して分布関数の汎関数を推定するために使用します。 SYSTAT には、必要な目的の分布からランダム標本を生成するための、無作為抽出 (ランダムサンプリング)IID MC、および MCMC の 3 種類のアルゴリズムが用意されています。SYSTAT の IID MC および MCMC では、正の関数からのみ無作為標本を生成します。 無作為抽出、IID MC 、および MCMC で生成した標本を保存することができます。SYSTAT の IID MC および MCMC の使用ではユーザーの果たす役割りが大きく、計算に成功するかどうかはユーザーの判断に大きく依存します。

無作為抽出 (Random Sampling)

SYSTAT は、無作為抽出 を使用し、パラメータを指定して、33 種類のリストから選択した分布 (離散型および連続型、単変量および多変量) の多数の標本を指定した大きさで描画することができます。分布は、単変量離散型、単変量連続型、多変量の 3 つのグループに分けられます。

  1. 「単変量離散型分布」ダイアログ ボックス
    「無作為抽出:単変量離散型分布」ダイアログ ボックスを開くには、メニューから次のように選択します。
    「モンテカルロ」
    「無作為抽出」
    「単変量離散型」
    1. 「サンプル数」:生成する標本の数を入力します。
    2. 「サンプルサイズ」:生成する標本の大きさを入力します。
    3. 「乱数の種」:デフォルトの乱数作成 (random number generator) は Mersenne-Twister アルゴリズムです。 乱数の種として 1 ~ 4294967295 の整数を指定します。指定を省略した場合は、システム時刻に基づいて生成されます。
    4. 「分布」:ドロップダウン リストで分布を選択します。 このドロップダウン リストは、「2 項」、「離散一様」、「幾何」、「超幾何」、「負の2 項」、「Poisson」、「ジップ」の単変量離散型分布で構成されています。 所定のボックスにパラメータの値を入力します (選択した分布によって異なります)。
    5. 「ファイルを保存」:ファイルを指定して出力を保存することができます。

  2. 「単変量連続型分布」ダイアログ ボックス
    「無作為抽出:単変量連続型分布」ダイアログ ボックスを開くには、メニューから次のように選択します。
    「モンテカルロ」
    「無作為抽出」
    「単変量連続型」
    1. 「サンプル数」:生成する標本の数を入力します。
    2. 「サンプルサイズ」:生成する標本の大きさを入力します。
    3. 「乱数の種」:デフォルトの乱数作成 (random number generator) は Mersenne-Twister アルゴリズムです。 乱数の種として 1 ~ 4294967295 の整数を指定します。指定を省略した場合は、システム時刻に基づいて生成されます。
    4. 「分布」:ドロップダウン リストで分布を選択します。 このドロップダウン リストは、「ベータ」、「Cauchy」、「カイ2 乗」、「二重指数」、「指数」、「F」、「ガンマ」、「Gompertz」、「Gumbel」、「逆ガウス(ワルド)」、「ロジスティック」、「ロジット正規」、「対数正規」、「正規」、「Pareto」、「Rayleigh」、「t」、「スチューデント化された範囲」、「三角」、「一様」、「Weibull」の 21 種類の単変量連続型分布で構成されています。 所定のボックスにパラメータの値を入力します(選択した分布によって異なります)。
    5. 「ファイルを保存」:ファイルを指定して出力を保存することができます。

  3. 「多変量分布」ダイアログ ボックス
    「無作為抽出:多変量分布」ダイアログ ボックスを開くには、メニューから次のように選択します。
    「モンテカルロ」
    「無作為抽出」
    「多変量」
    1. 「サンプル数」:生成する標本の数を入力します。
    2. 「サンプルサイズ」:生成する標本の大きさを入力します。
    3. 「乱数の種」:デフォルトの乱数作成 (random number generator) は Mersenne-Twister アルゴリズムです。 乱数の種として 1 ~ 4294967295 の整数を指定します。指定を省略した場合は、システム時刻に基づいて生成されます。
    4. 「分布」:ドロップダウン リストで分布を選択します。 このドロップダウン リストは、「2 変量指数」、「Dirichlet」、「多項式」、「多変量正規」、「Wishart」の 5 種類の多変量分布で構成されています。 所定のボックスにパラメータの値を入力します(選択した分布によって異なります)。
    5. 「ファイルを保存」:ファイルを指定して出力を保存することができます。

IID モンテカルロ法

所定の分布からランダム標本を直接的に生成する方法が不明の場合、または密度が完全には指定されていない場合には、IID モンテカルロ法がよく使用されます。 SYSTAT の IID モンテカルロ法は、単変量連続型分布からのランダム標本の生成にのみ使用できます。 IID モンテカルロ法は、2 つの一般的なアルゴリズム、棄却サンプリング (Rejection Sampling) および適応的棄却サンプリング (ARS) で構成されています。 これらの方法では、目的の密度用のエンベロープ (プロポーザル) 関数が使用されます。 プロポーザル密度とは、その密度から無作為標本を描画できる密度を表します。 棄却サンプリングでは、SYSTAT の 20 種類の単変量連続型分布のリストから提案分布 (Proposal distribution) を選択することができます。 ARS 法では、このアルゴリズム自体がエンベロープ (プロポーザル) 関数を生成します。 ARS 法は、対数凹形の目的密度にのみ使用することができます。

  1. 「棄却サンプリング」ダイアログ ボックス
    「棄却サンプリング」ダイアログ ボックスを開くには、メニューから次のように選択します。
    「モンテカルロ」
    「IIDMC」
    「棄却」
    1. 「標本数」:生成する標本の数を入力します。
    2. 「標本サイズ」:生成する標本の大きさを入力します。
    3. 「乱数の種」:デフォルトの乱数作成 (random number generator) は Mersenne-Twister アルゴリズムです。 乱数の種として 1 ~ 4294967295 の整数を指定します。指定を省略した場合は、システム時刻に基づいて生成されます。
    4. 「目的関数」:必要な構文のターゲット関数を指定します。
    5. 「コンスタント」:目標とするプロポーザル関数の比で最小上界の上限である値を入力します。
    6. 「プロポーザル」:使用する提案分布関数を選択します。 このドロップダウン リストは、「ベータ」、「Cauchy」、「カイ2 乗」、「二重指数」、「指数」、「F」、「ガンマ」、「Gompertz」、「Gumbel」、「逆ガウス」、「ロジスティック」、「ロジット正規」、「対数正規」、「正規」、「Pareto」、「Rayleigh」、「t」、「三角」、「一様」、「Weibull」の 20 種類の単変量連続分布で構成されています。
    7. 「ファイルを保存」:ファイルを指定して出力を保存することができます。

  2. 「適応的棄却サンプリング」ダイアログ ボックス
    「適応的棄却サンプリング」ダイアログ ボックスを開くには、メニューから次のように選択します。
    「モンテカルロ」
    「IIDMC」
    「適応的棄却」
    1. 「標本数」:生成する標本の数を入力します。
    2. 「標本サイズ」:生成する標本の大きさを入力します。
    3. 「乱数の種」:デフォルトの乱数作成 (random number generator) は Mersenne-Twister アルゴリズムです。 乱数の種として 1 ~ 4294967295 の整数を指定します。指定を省略した場合は、システム時刻に基づいて生成されます。
    4. 「目的関数」:対数凹面条件を満足するターゲット関数を指定します。
    5. 「目標のサポート」:この方法では、まず、目標とする分布の台(サポート)上の初期点を使用してプロポーザル関数を生成し、それを目的関数のタイプに基づいて拡張します。 境界および開始点を指定する必要があります。
      • 「アンバウンド」:目標とする台を無境界として指定します。 2 つの点が開始点です
      • 「バウンド右」:目標とする台を右に有界として指定します。 左の点が開始点で右の点が境界です。
      • 「バウンド左」:目標とする台を左に有界として指定します。 右の点が開始点で左の点が境界です。
      • 「バウンド」:目標とする台を有界として指定します。 左右の開始点が境界です。
      • 「ポイント/バウンド左」:目的関数のモードの左側の点を入力します。
      • 「ポイント/バウンド右」:目的関数のモードの右側の点を入力します。
    6. 「ファイルを保存」:ファイルを指定して出力を保存することができます。

マルコフ連鎖モンテカルロ (MCMC) 法

マルコフ連鎖モンテカルロ (MCMC) 法は、定常分布が目的の分布である測度可遷的なマルコフ連鎖が生成可能なときに使用されます。 SYSTAT には、Metropolis-Hastings (M-H) アルゴリズムギブズ・サンプリングアルゴリズムの 2 種類の MCMC アルゴリズムが用意されています。 M-H アルゴリズムを使用して、単変量分布からランダム標本を生成することができます。 SYSTAT では、Random Walk Metropolis-Hastings アルゴリズム (RWM-H)、Independent Metropolis-Hastings アルゴリズム (IndM-H)、この 2 つをハイブリッドにした Metropolis-Hastings アルゴリズムの 3 種類の Metropolis-Hastings アルゴリズムが使用できます。 Metropolis-Hastings アルゴリズムの提案分布は、SYSTAT の 20 種類の単変量連続型分布のリストからしか選択できません。 ギブズ・サンプリングは、完全条件付き単変量分布が SYSTAT の単変量分布ライブラリーで定義されている場合にのみ使用できます。 MCMC アルゴリズムを使用する場合は、適切な初期値/分布を指定することをお勧めします。 無収束診断が用意されていて、MCMC アルゴリズムでのバーンイン期間 (burn-in period) およびギャップの指定はユーザーが行う必要があります。

  1. 「M-H アルゴリズム」ダイアログ ボックス
    Metropolis-Hastings (メトロポリス‐ヘイスティング) アルゴリズムでは、使用するアルゴリズムとして、ランダム ウォーク、独立、またはハイブリッドのいずれかを指定します。
    「M-H アルゴリズム」ダイアログ ボックスを開くには、メニューから次のように選択します。
    「モンテカルロ」
    「MCMC」
    「M-H アルゴリズム」
    1. 「標本数」:生成する標本の数を入力します。
    2. 「標本サイズ」:生成する標本の大きさを入力します。
    3. 「乱数の種」:デフォルトの乱数作成 (random number generator) は Mersenne-Twister アルゴリズムです。 乱数の種として 1 ~ 4294967295 の整数を指定します。指定を省略した場合は、システム時刻に基づいて生成されます。
    4. 「バーンイン」:最初に連鎖から廃棄するランダム標本の大きさを入力します。
    5. 「ギャップ」:生成したシーケンスから抽出できる 2 つの連続乱数観測値のインデックスの差を入力します。
    6. 「目的関数」:目的関数を指定します。
    7. 「アルゴリズムのタイプ」:次のアルゴリズムのいずれかを選択します。
      • 「ランダムウォーク」:RWM-H アルゴリズムを使用してランダム標本を生 成します。
      • 「独立」:IndM-H アルゴリズムを使用してランダム標本を生成します。
      • 「ハイブリッドRWInd」:ハイブリッド RWInd M-H アルゴリズムを使用して ランダム標本を生成します。
    8. 「目標のサポート」:目標とする分布の台を、有界、左に有界、右に有界、無境界として指定できます。
      • 「アンバウンド」:目標とする台を無境界として指定します。
      • 「バウンド右」:目標とする台を右に有界として指定します。
      • 「バウンド左」:目標とする台を左に有界として指定します。
      • 「バウンド」:目標とする台を有界として指定します。
      • 「左のバウンド」:左に有界/有界の台が存在する目標とする分布の左の境 界を入力します。
      • 「右のバウンド」:右に有界/有界の台が存在する目標とする分布の右の境 界を入力します。
    9. 「初期値」:生成するマルコフ連鎖の初期値を指定します。 目標とする分布と同 じ台を持つ分布をドロップダウン リストで選択します。
    10. 「プロポーザル」:「ベータ」、「Cauchy」、「カイ 2 乗」、「二重指数(ラプラス)」、「指数」、「F」、「ガンマ」、「Gompertz」、「Gumbel」、「逆ガウス(ワルド)」、「ロジスティック」、「ロジット正規」、「対数正規」、「正規」、「Pareto」、「Rayleigh」、「スチューデント t」、「三角」、「一様」、「Weibull」の 20 種類の単変量連続型分布のリストで使用する提案分布を選択します。
      • 「ランダムウォーク」 「ランダムウォーク Metropolis-Hastings」アルゴリズムを 選択するか、「ハイブリッド ランダムウォーク独立 Metropolis-Hastings」アルゴリズムを選択した場合は、所定の単変量連続型分布のリストから 1つを選択します。 プロポーザル密度が連続型のゼロ近傍で正の場合は、生成される RWM-H 連鎖は測度可遷的になります。 ゼロ近傍で対称の提案分布を使用することをお勧めします。
      • 「独立」:「独立Metropolis-Hastings」アルゴリズムを選択するか、「ハイブリッ ド ランダムウォーク独立 Metropolis-Hastings」アルゴリズムを選択した場合は、所定の単変量連続型分布のリストから 1つを選択します。 提案分布の選択は重み付け関数が有界である方法で行われるものと見なされます。この場合、生成されるマルコフ連鎖は一様に測度可遷的になります。 提案分布の台が目標とする分布の台をカバーしていることを確認する必要があります。
    11. 「ファイルを保存」:ファイルを指定して出力を保存することができます。

  2. 「ギブス・サンプリング」ダイアログ ボックス
    「ギブス・サンプリング」ダイアログ ボックスを開くには、メニューから次のように選択します。
    「モンテカルロ」
    「MCMC」
    「ギブス・サンプリング」
    1. 「標本数」:生成する標本の数を入力します。
    2. 「標本サイズ」:生成する多変量標本の大きさを入力します。
    3. 「乱数の種」:デフォルトの乱数作成(random number generator) は Mersenne-Twister アルゴリズムです。 乱数の種として 1 ~ 4294967295 の整数を指定します。指定を省略した場合は、システム時刻に基づいて生成されます。
    4. 「ギャップ」:生成したシーケンスから抽出できる 2 つの連続乱数観測値のインデックスの差を入力します。
    5. 「バーンイン」:最初に連鎖から廃棄するランダム標本の大きさを入力します。
    6. 「ファイルを使用」:データ ファイルを開きます。データ ファイル内の変数は、完全な条件式の一部を構成します。
    7. 「完全条件付」:完全条件付き分布を指定します。
      • 「変数」:ランダム標本を生成する変数を入力します。
      • 「分布」:所定のリストから必要な分布を選択します。 このリストは 7 種類 の単変量離散型分布と 20 種類の連続型分布で構成されています。 その内容は、「2 項」、「離散一様」、「幾何」、「超幾何」、「Poisson」、「負の2 項」、「ジップ」、「Cauchy」、「カイ 2 乗」、「二重指数(ラプラス)」、「指数」、「F」、「ガンマ」、「Gompertz」、「Gumbel」、「逆ガウス(ワルド)」、「ロジスティック」、「ロジット正規」、「対数正規」、「正規」、「Pareto」、「Rayleigh」、「スチューデント t」、「三角」、「一様」、「Weibull」です。
      • 「パラメータ」:選択した分布に関連するパラメータの式または数を指定します。
      • 「初期値」:各変数の初期値を入力します。
    8. 「ファイルを保存」:ファイルを指定して出力を保存することができます。

モンテカルロ積分法

生成された無作為標本から、大数の法則に基づいて、問題の確率変数のユーザー指定関数の平均値の推定値とその分散の推定値を計算することができます。 モンテカルロ積分法は、関数形式の期待値の評価に使用することができます。 SYSTAT には、クラシカル モンテカルロ積分法およびインポータンス (重点的) サンプリングの 2 種類のモンテカルロ積分法が用意されています。

  • 「積分」ダイアログ ボックス
    モンテカルロ積分推定値を得るには、メニューから次のように選択します。
    「モンテカルロ」
    「積分」
    • 「被積分関数」:積分推定値の必要な関数を指定します。
    • 「手法」:必要な積分法を選択します。
      • 「クラシカル モンテカルロ」:クラシカル モンテカルロ積分推定値を計算し ます。
      • 「インポータンス サンプリング積分」 インポータンス抽出積分推定値を計算 します。
      • 「インポータンス サンプリング比」:インポータンス(重点的)サンプリン グ比推定値を計算します。
    • 「密度関数」:密度関数を入力します。この関数はインポータンス サンプリングの重み付け関数の分子です。

コマンドの使用

●単変量連続型および離散型無作為抽出の場合

RANDSAMP
SAVE filename
UNIVARIATE distribution notation(parameterlist)/
SIZE= n1 NSAMP=n2 RSEED=n
GENERATE
Distribution notation は引数としてのパラメータで構成されます。

●多変量無作為抽出の場合

RANDSAMP
SAVE filename
MULTIVARIATE distribution notation
parameterlist/
SIZE =n1
NSAMP= n2 RSEED=n
GENERATE
SYSTAT データ ファイルから共分散行列を入力(直交行列または下三角行列)として与えることができます。 非心度行列を SYSTAT データ ファイルとして与えることができます。
■多変量分布のパラメータ リスト
多項 N = 試行番号、K = セル(出現)の番号、PROB = k 個のセルの確率ベクトル
2 変量指数 LAMBDA1 = 故障率 1、LAMBDA2 = 故障率 2、LAMBDA3 = 故障率 3
Dirichlet K = 正の整数(>2)、SHAPE = 形状パラメータの k 次元ベクトル
多変量正規 P = 正の整数(>1)、MU= p 成分の行ベクトル、COVAR = pxp の対称正定値符号行列
Wishart P = 正の整数(>1)、DOF = 正の整数(>= p)、COVAR = pxp の対称正定値符号行列、 NC = 非心度パラメータの pxp 行列

●棄却サンプリングの場合

IIDMC
SAVE filename
RJS TARGET=‘expression’ CONSTANT= n / SIZE= n1
NSAMPLE= n2 RSEED=n
PROPOSAL distribution notation(parameter list)
GENERATE
プロポーザルの分布表記を、「ベータ」、「Cauchy」、「カイ2 乗」、「指数」、「F」、「ガンマ」、「Gompertz」、「Gumbel」、「二重指数(ラプラス)」、「ロジスティック」、「ロジット正規」、「対数正規」、「正規」、「Pareto」、「Rayleigh」、「スチューデントt」、「三角」、「一様」、「逆ガウス(ワルド)」、「Weibull」分布の表記から選択することができます。

●適応的棄却サンプリングの場合

IIDMC
SAVE filename
ARS TARGET =‘expression’ RANGE =  / SIZE =n1
NSAMPLE=n2 RSEED=n
GENERATE
RANGE の引数は、UB= d1,d2 、RB= d1,d2 、LB=d1,d2、B=d1,d2 のいずれかです。 引数 d1 および d2 は、左右の開始点または境界を表します。

●Metropolis-Hastings アルゴリズムの場合

MCMC
SAVE filename
MH TARGET =’expression’ RANGE=/RW or IND or HY
SIZE=n1 NSAMPLE=n2 BURNIN=n3 GAP=n4 RSEED=n
INITSAMP distribution notation(parameter list)
PROPOSAL distribution notation(parameter list)
(Hybrid RWIND Metropolis-Hastings アルゴリズムに 1 つ以上
の分布を割り当てます。 最初のプロポーザルは RWM--H アルゴリズム
に割り当てられ、2 番目のプロポーザルは IndM-H アルゴリズムに割
り当てられます)。
GENERATE
RANGE の引数は、UB、LB=d2、RB=d1=、B=d1, d2 のいずれかです。 引数 d1 および d2 はターゲット関数の左右の境界を表します。
プロポーザルの分布表記を、「ベータ」、「Cauchy」、「カイ2 乗」、「指数」、「F」、「ガンマ」、「Gompertz」、「Gumbel」、「二重指数(ラプラス)」、「ロジスティック」、「ロジット正規」、「対数正規」、「正規」、「Pareto」、「Rayleigh」、「スチューデントt」、「三角」、「一様」、「逆ガウス(ワルド)」、「Weibull」分布の表記から選択することができます。

●ギブズ・サンプリングの場合

MCMC
SAVE filename
GIBBS / SIZE= n1 NSAMP=n2 BURNIN=n3 GAP=n4 RSEED=n
FULLCOND VAR=variable DISTRIB= distribution notation
PAR1=‘expression’ PAR2=‘expression’
PAR3=‘expression’ INITIAL=n
FULLCOND VAR=variable DISTRIB= distribution notation
PAR1=‘expression’ PAR2=‘expression’
PAR3=‘expression’ INITIAL=n
(必要な数だけ FULLCOND を記述する)
GENERATE
完全条件付きの分布表記は、「2 項」、「離散一様」、「幾何」、「超幾何」、「負の2 項」、「Poisson」、「ジップ」、「ベータ」、「Cauchy」、「カイ2 乗」、「指数」、「F」、「ガンマ」、「Gompertz」、「Gumbel」、「二重指数(ラプラス)」、「ロジスティック」、「ロジット正規」、「対数正規」、「正規」、「Pareto」、「Rayleigh」、「スチューデントt」、「三角」、「一様」、「逆ガウス(ワルド)」、「Weibull」の分布表記から選択することができます。

●モンテカルロ積分法の場合

INTEG FUN=‘expression’ /MC
(インポータンス サンプリングの場合は、DENFUN=‘expression’ を
FUN=‘expression’ の後に記述する必要があります。インポータンス サンプ
リング積分およびインポータンス サンプリング比推定の場合は、MC に代えて、
前者の場合は IMPSAMPI を、後者の場合は IMPSAMPR を使用します)。
ESTIMATE
SYSTAT のモンテカルロ積分法は、単変量離散型および単変量連続型無作為抽出法、棄却サンプリング、適応的棄却サンプリング、または M-H アルゴリズムのいずれかを使用してランダム標本を生成した後でのみ使用することができます。

モンテカルロ法の例

  1. 二重指数(ラプラス)中央値の標本分布
  2. 2 変量指数(Marshal-Olkin モデル)分布からの無作為標本の生成
  3. モンテカルロ積分法による積分の評価
  4. 棄却サンプリング
  5. RWM-H アルゴリズムおよび IndM-H アルゴリズムを使用した有界事後密度関数の平均値と分散の推定
  6. ギブズ・サンプリングによる 2 変量正規ランダム標本の生成
  7. 遺伝子頻度の推定
  8. ポアソン ガンマ階層モデルのあてはめ
  9. ギブズ・サンプリングを使用した線形回帰のあてはめ

参考文献

  • Athreya, K.B., Delampady, M., and Krishnan, T. (2003). Markov chain Monte Carlo methods. Resonance, 8 (4), 17-26; 8(7), 63-75; 8(10), 8-19; 8(12), 18-32..
  • Bratley, P., Fox, B.L., and Schrage, L.E. (1987). A guide to simulation. 2nd ed, New York: Springer-Verlag.
  • Casella, G. and George, E.I. (1992). Explaining the Gibbs Sampler. The American Statistician, 46, 167?174.
  • Chib, S. and Greenberg, E. (1995). Understanding the Metropolis-Hastings algorithm. The American Statistician, 49, 327?335.
  • Chhikara, R. S. and Folks, J. L. (1989). The inverse Gaussian distribution: Theory, methodology, and applications. New York: Marcel Dekker.
  • Congdon, P. (2001). Bayesian statistical modeling. New York: John Wiley & Sons.
  • Fishman, G.S. (1996). Monte Carlo: Concepts, algorithms, and applications. New York: Springer-Verlag.
  • Gaver, D.P. and O’Muircheartaigh, I.G. (1987) Robust empirical Bayes analysis of event rates. Technometrics, 29, 1-15
  • Gentle, J. E. (1998). Random number generation and Monte Carlo methods. New York: Springer-Verlag.
  • Geweke, J. (1989). Bayesian inference in econometric models using Monte Carlo integration. Econometrica, 57, 1317-1339.
  • Gilks, W.R. (1992). Derivative-free adaptive rejection sampling for Gibbs sampling. In Bayesian Statistics 4, (eds.: Bernardo, J., Berger, J., Dawid, A.P., and Smith, A.F.M.) London: Oxford University Press, 641-649.
  • Gilks, W.R. and Wild, P. (1992). Adaptive rejection sampling for Gibbs sampling. Applied Statistics, 41, 337?348.
  • Gilks, W.R., Richardson, S., and Spiegelhalter, D.J. (1998). Markov chain Monte Carlo in practice. London: Chapman& Hall/CRC.
  • Hesterberg, T. (1995). Weighted average importance sampling and defensive mixture distributions. Technometrics, 37, 185?194.
  • Lee, P. (1997). Bayesian statistics: An introduction, 2nd ed. London: Edward Arnold.
  • Liu, J.S. (2001). Monte Carlo strategies in scientific computing. New York: Springer-Verlag.
  • Liu, J.S., Wong, W.H., and Kong, A. (1994). Covariance structure of the gibbs sampler with applications to the comparisions of the estimators and augmentation schemes. Biometrika, 81, 27-40.
  • Matsumoto, M. and Nishimura, T. (1998). Mersenne Twister: A 623-dimensionally equidistributed uniform pseudorandom number generator, ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation, 8,3-30.
  • McLachlan, G.J. and Krishnan, T. (1997). The EM algorithm and extensions. New York: John Wiley & Sons.
  • Monahan, J.F. (2001). Numerical methods of statistics. Cambridge: Cambridge University Press.
  • Rao, C.R. (1973). Linear statistical inference and its applications. New York: John Wiley& Sons.
  • Robert, C.P. and Casella, G. (1999). Monte Carlo statistical methods. New York: Springer-Verlag.
  • Ross, S.M. (2002). Simulation, 3rd ed. San Diego, CA: Academic Press.

 

前のページにもどる